Patricia De Jesús García: octubre 2015

2.9 Modelos analíticos de fenómenos aleatorios discretos

Discretos:

(Yal l. devore, 2008) declara que “Una variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores posibles o constituyen un conjunto finito o bien pueden ser puestos en lista en una secuencia infinita en la cual existe un primer elemento, un segundo elemento, y así sucesivamente

(“contablemente” infinita)” (pag. 89).

Ejemplo 1:

Todas las variables aleatorias de los ejemplos 3.1-3.4 son discretas. Como otro ejemplo, suponga

que se eligen al azar parejas de casados y que a cada persona se le hace una prueba de

sangre hasta encontrar un esposo y esposa con el mismo factor Rh. Con X _ el número de pruebas de sangre que serán realizadas, los posibles valores de X son D _ {2, 4, 6, 8, . . .}.

Como los posibles valores se dieron en secuencia, X es una variable aleatoria discreta.

Lista de referencia

· (Yal l. devore, 2008) “Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” séptima edición editorial CENGAGE LEARNIG

2.8 Variables aleatorias conjuntas.

(Yal l. devore, 2008) declara que “Para un espacio muestral dado S de algún experimento, una variable aleatoria (va, orv, por sus siglas en inglés) es cualquier regla que asocia un número con cada resultadoen S. En lenguaje matemático, una variable aleatoria es una función cuyo dominio es el espacio muestral y cuyo rango es el conjunto de números reales.”(pág. 87)

Ejemplo del uso o aplicación

Suponga que del mismo modo aleatorio, se selecciona un lugar (latitud y longitud) en los Estados Unidos continentales. Defina una variable aleatoria Y como

Y _ la altura sobre el nivel del mar en el lugar seleccionado.

Por ejemplo, si el lugar seleccionado fuera (39° 50_N, 98° 35_O, entonces se podría tener Y((39° 50_N, 98° 35_O)) _ 1748.26 pies. El valor más grande posible de Y es 14 494 (Monte Whitney) y el valor más pequeño posible es _282 (Valle de la Muerte). El conjunto de todos los valores posibles de Y es el conjunto de todos los números en el intervalo entre _282 y 14 494, es decir, {y: y es un número, _282 _ y _ 14 494} y existe un número infinito de números en este intervalo.

Lista de referencia

· Yal l. devore “Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” séptima edición editorial CENGAGE LEARNIG 2008

· Ronald E. Walpole “probabilidad y estadísticas para ingenieros” sexta edición. editorial Prentice Hall, año 1999.

2.7 Variable aleatoria

Variables aleatorias

1. según ( William M., Robert J. Beaver y Bárbara M. Beaver. 2010)

“Una variable x valuada numéricamente varía o cambia, dependiendo del resultado particular del experimento que se mida. Por ejemplo, suponga que se tira un dado y se mide x, el número observado en la cara superior. La variable x puede tomar cualquiera de seis valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, dependiendo del resultado aleatorio del experimento. Por esta razón, la variable x se conoce como variable aleatoria” (pág. 163).

Definición

“Una variable x es variable aleatoria si el valor que toma, correspondiente al resultado de un experimento, es una probabilidad o evento aleatorio” (pág. 163).

2. De acuerdo a (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

“Una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral” (pág. 81).

3. Definición de variable

(William M., Robert J. Beaver y Bárbara M. Beaver., 2010)Señalan que:

“Se dice que una variable aleatoria Y es discreta si puede tomar sólo un número fi nito o contablemente infinito1 de valores distintos”(pág. 87).

Ejemplos del uso o aplicación

1. Según (Seymour Lipschutz, 1968)

“Usamos la notación abreviada para la probabilidad de los sucesos “X toma el valor a” y”X toma valores en el intervalo [a, b]. “Esto es,

” (pág. 74)

2. De acuerdo a (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012)

“De una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras se sacan 2 bolas de manera sucesiva,

sin reemplazo. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el número de bolas rojas, son

Espacio muestral y

RR	2
RN	1
NR	1
NN	0

“(pág. 82).

Lista de referencia

· (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver., 2010). “Introducción a la probabilidad y estadística”Décima tercera edición. Cengage

· (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN

· (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver., 2010). “Introducción a la probabilidad y estadística”Décima tercera edición. Cengage

· (Seymour Lipschutz, 1968) Probabilidad, Primera edición, Editorial MC GRAW HILL, México S. A. de C. V.

· (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE., 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. (9 ed.). México :PEARSON EDUCACIÓN

2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes

REGLA DE BAYES

1. según (MURRAY R. S., 1976)

“Supóngase que .A₁, A₂,..., A_n son sucesos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral , es decir uno de los sucesos debe ocurrir. Entonces si A es cualquier suceso tenemos el siguiente teorema importante :

Teorema 1-24 (regla de Bayes):

P(A_klA)=P(A_k) P(AlA_k) nΣk=1 P(A_k) P(AlA_k). Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes sucesos A₁, A₂, . - . , A_n que pueden causar la ocurrencia de A. Por esta razón con frecuencia se hace referencia al teorema de Bayes como el teorema sobre la probabilidad de causas".(página. 9).

REGLA DE BAYES

2. De acuerdo a (William M., Robert J., Beaver y Barbara M. Beaver., 2010)

“Con S₁, S₂,. . . , S_k representemos k subpoblaciones mutuamente excluyentes y exhaustivas

con probabilidades previas P(S1), P(S2), . . . , P(S_k). Si ocurre un evento A, la

Probabilidad posterior de Si dada A es la probabilidad condicional

P(S_i |A) =P(S_i)P(A_S_i) / kΣj-1P(S_j)P(A|S_j)

para i =1, 2, . . . , k.”(pág. 160).

(Regla de Bayes)

3. (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

“Si los eventos B1, B2,..., Bk constituyen una particion del espacio muestral S, donde P (Bi) ≠ 0 para i = 1, 2,...,k, entonces, para cualquier evento A en S, tal que P(A) ≠ 0, P (Br |A) =P (Br ∩A)/kΣ i=1P (Bi ∩A)=P (Br )P (A|Br )kΣi=1P (Bi )P (A|Bi )para r = 1, 2,… k. Prueba: Mediante la defi nicion de probabilidad condicional, P (Br |A) = P (Br ∩A)/P (A), y despues usando el teorema 2.13 en el denominador, tenemos P (Br |A) =P (Br ∩A)/kΣi=1P (Bi ∩A)=P (Br )P (A|Br )/kΣi=1P (Bi )P (A|Bi ), que completa la demostración.” (pag.75)

Ejemplos del uso o aplicion

1. Según (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

“si se elige al azar un producto y se encuentra que esta defectuoso, .cual es la probabilidad de que haya sido ensamblado con la maquina B3?

Solución: Podemos utilizar la regla de Bayes para escribir

y despues al sustituir las probabilidades calculadas en el ejemplo 2.41, tenemos

P (B3 |A) =0.005/0.006 + 0.0135 + 0.005=0.005/0.0245=10/49.

En vista del hecho de que se selecciono un producto defectuoso, este resultado sugiere que probablemente no fue ensamblado con la maquina B3 (pág. 75, 76).

Regla de bayes.

2. De acuerdo a (Montgomery, D; Runger, G., 2002)

“Ahora puede contestarse la pregunta planteada al inicio de esta sección. La probabilidad pedida puede expresarse como P(E₁F).entonces P(E₁|F).=P(F|E₁)P(E₁)P(F)=0.10(0.20)/0.0235=0.85”(pág. 91.)

Lista de referencia

· (MURRAY R. S., 1976).” Probabilidad y estadística”. México: GRAW-HILL

· (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010).” Estadística matemática con aplicaciones”. (7 ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

· (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” (9 ed.) México: PEARSON EDUCACIÓN,

Montgomery, D; Runger, G. “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería”. 2ª. Edición. Limusa. México. 2002

sábado, 31 de octubre de 2015