2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes

REGLA DE BAYES 

1. según (MURRAY R. S., 1976)

“Supóngase que .A₁, A₂,..., A_n son sucesos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral  , es decir uno de los sucesos debe ocurrir. Entonces si A es cualquier suceso tenemos el siguiente teorema importante :

Teorema 1-24 (regla de Bayes):

P(A_klA)=P(A_k) P(AlA_k) nΣk=1 P(A_k) P(AlA_k). Esto nos permite hallar las probabilidades de los diferentes sucesos A₁, A₂, . - . , A_n que pueden causar la ocurrencia de A. Por esta razón con frecuencia se hace referencia al teorema de Bayes como el teorema sobre la probabilidad de causas".(página. 9).

REGLA DE BAYES

2. De acuerdo a (William M., Robert J.,  Beaver y Barbara M. Beaver.,  2010)

“Con S₁, S₂,. . . , S_k representemos k subpoblaciones mutuamente excluyentes y exhaustivas

con probabilidades previas P(S1), P(S2), . . . , P(S_k). Si ocurre un evento A, la

Probabilidad posterior de Si dada A es la probabilidad condicional

P(S_i |A) =P(S_i)P(A_S_i) / kΣj-1P(S_j)P(A|S_j)

para i =1, 2, . . . , k.”(pág. 160).

(Regla de Bayes)

3. (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

“Si los eventos B1, B2,..., Bk constituyen una particion del espacio muestral S, donde  P (Bi) ≠ 0 para i = 1, 2,...,k, entonces, para cualquier evento A en S, tal que P(A) ≠ 0, P (Br |A) =P (Br ∩A)/kΣ i=1P (Bi ∩A)=P (Br )P (A|Br )kΣi=1P (Bi )P (A|Bi )para r = 1, 2,… k. Prueba: Mediante la defi nicion de probabilidad condicional, P (Br |A) = P (Br ∩A)/P (A), y despues usando el teorema 2.13 en el denominador, tenemos P (Br |A) =P (Br ∩A)/kΣi=1P (Bi ∩A)=P (Br )P (A|Br )/kΣi=1P (Bi )P (A|Bi ), que completa la demostración.” (pag.75)

Ejemplos del uso o aplicion

1. Según (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y  KEYING YE, 2012)

“si se elige al azar un producto y se encuentra que esta defectuoso, .cual es la probabilidad de que haya sido ensamblado con la maquina B3?

Solución: Podemos utilizar la regla de Bayes para escribir

P (B3 |A) =P (B3 )P (A|B3 )/P (B1 )P (A|B1 ) + P (B2 )P (A|B2 ) + P (B3 )P (A|B3 ),

y despues al sustituir las probabilidades calculadas en el ejemplo 2.41, tenemos

P (B3 |A) =0.005/0.006 + 0.0135 + 0.005=0.005/0.0245=10/49.

En vista del hecho de que se selecciono un producto defectuoso, este resultado sugiere que probablemente no fue ensamblado con la maquina B3 (pág. 75, 76).

Regla de bayes.

2. De acuerdo a (Montgomery, D; Runger, G., 2002)

“Ahora puede contestarse la pregunta planteada al inicio de esta sección. La probabilidad pedida puede expresarse como P(E₁F).entonces P(E₁|F).=P(F|E₁)P(E₁)P(F)=0.10(0.20)/0.0235=0.85”(pág. 91.)

Lista de referencia

·         (MURRAY R. S.,  1976).” Probabilidad y estadística”. México: GRAW-HILL

·         (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010).” Estadística matemática con aplicaciones”. (7 ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

·         (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” (9 ed.) México: PEARSON EDUCACIÓN,

  Montgomery, D; Runger, G. “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería”. 2ª. Edición. Limusa. México. 2002