4.9 distribución F

    1. según  (Humberto Gutiérrez y Román de la vara Salazar, 2009).

“sean W y y variables aleatorias ji-cuadrada independientes con u y v grados de libertad, respectivamente. entonces el cociente,

tiene una distribución f con u grados de libertad en el numerador, y v en el denominador, cuya función de densidad de probabilidad está dada por:” (página. 59).

Bibliografía

Humberto Gutiérrez pulido y Román de la vara Salazar, 2009, control estadístico de calidad y seis sigma, segunda edición, México, McGraw-Hill.

4.8 Distribución Chi cuadrada.

1. Según (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012).

“La variable aleatoria continua X tiene una distribución chi cuadrada, con v grados de

libertad, si su funcion de densidad es dada por

Donde v es un positivo” (Pág. 200).

Bibliografía

v   (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” (9 ed.) México: PEARSON EDUCACIÓN.

4.7 Distribución T-student.

1. Según (Murray r. spiegel y Larry j. Stephens, 2009)

“Si se consideran muestras de tamaño n extraídas de una población normal (o aproximadamente normal) cuya media es μ y si para cada muestra se calcula t, usando la media muestral x’ y la desviación estándar muestral s o s^, se obtiene la distribución muestral de t. esta distribución está dada por: (pág. 275)

Bibliografía

Murray r. spiegel y Larry j. Stephens, 2009, estadística, cuarta edición, México, McGraw-Hill.

4.6 Distribución normal.

1. Según (Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams.,  2008)

“La distribución de probabilidad más usada para describir variables aleatorias continuas es la distribución de probabilidad normal. La distribución normal tiene gran cantidad de aplicaciones prácticas, en las cuales la variable aleatoria puede ser el peso o la estatura de las personas, puntuaciones de exámenes, resultados de mediciones científicas, precipitación pluvial u otras cantidades similares. La distribución normal también tiene una importante aplicación en inferencia estadística, tema principal del resto de este libro. En estas aplicaciones, la distribución normal describe qué tan probables son los resultados obtenidos de un muestreo” (Pág. 231).

2. De acuerdo a (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010)

 (Pág. 178).

3. (Yal l. devore, 2008) Señala que:

(Pág. 145).

Lista de referencia

·                                 ·         (Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. Williams.,  2008).                                  Estadística para administración y economía, 10a. edición.Cengage Learning                          Editores, S.A.

·         (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer 2010).” Estadística matemática con aplicaciones”. (7 ed.). Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

·         (Yal l. devore, 2008).“Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” séptima edición editorial CENGAGE LEARNIG 

4.5 Esperanza matemática.

Definición

1. Según (Mario f.triolo., 2009).

“El valor esperado (también llamado esperanza o esperanza matemática) son extensos y variados, y desempeñan un papel muy importante en una área de aplicación denominada teoría de la decisión.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta se denota por E y representa el valor promedio de los resultados. Se obtiene calculando el valor de Σ[x * P(x)].

E =  Σ [x * P(x)]” (Pág. 208).

2. De acuerdo a (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver., 2010).

“Sea x una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad

p(x). La media o valor esperado de x está dada como

u = E(x) = S xp(x) donde los elementos se suman sobre todos los valores de la variable aleatoria x” (Pág. 167).

3. (Murray R. S., Larry J. S. 2009) Señala que:

“Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad de dinero S, pS define la esperanza matemática (o simplemente la esperanza)” (Pág.144).

Ejemplo

1. Según a (Mario f.triolo., 2009).

“Lotería Kentucky Pick 4 Si usted apuesta $1 en el juego de lotería

Kentucky Pick 4, pierde $1 o gana $4999. (El premio ganador es de $5,000,

pero no le devuelven su apuesta de $1, por lo que la ganancia neta es de $4999). El

juego consiste en seleccionar un número de cuatro dígitos entre 0000 y 9999. Si

usted apuesta $1 al 1234, ¿cuál es el valor esperado de ganar o perder?

SOLUCIÓN Para esta apuesta existen dos resultados: usted pierde $1 o gana

$4999. Como existen 10,000 posibilidades de números de cuatro dígitos y sólo

una de ellas representa el número ganador, la probabilidad de perder es de

9,999>10,000 y la probabilidad de ganar es de 1>10,000. La tabla 5-4 resume la distribución de probabilidad, y podemos ver que el valor esperado es E__50 centavos.

” (Pág. 209).

Lista de referencia

·         Mario f.triolo., 2009. “estadística matemática con aplicaciones”. Décima edición México:Pearson Addison Wesley.

·         (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver., 2010). “Introducción a la probabilidad y estadística”. Décima tercera edición. Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

·          (Murray R. S., Larry J. S. 2009). “ESTADÍSTICA”. (4° ed.). México: McGraw-Hill/INTERAMERICANA.

4.3 Distribución hipergeométrica

Distribución Hipergeométricia

1.       Según  (Douglas C. Montgomery y George C. Runger)

“Un conjunto de N objetos contiene

K objetos clasificados como éxitos y

N-K objetos clasificados coomo fallas

Se  toma una muestra de tamaño n, al azar (sin remplazo) de entre N objetos, donde k ≤ N y n ≤ N.

Sea la variable aleatoria X el numero de éxitos en la muestra. Entonces, X tiene una distribución hipergeométrica” (Pág. 140).

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

2.       De acuerdo a (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver.,  2010

“Una población contiene M éxitos y N - M fracasos. La probabilidad de exactamente k éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n es

para valores de k que dependen de N, M y n con

La media y la varianza de una variable aleatoria hipergeométrica son muy semejantes a las de una variable aleatoria binomial con una corrección para el tamaño fi nito de población:

” (Pág. 206).

3.       (Mario F. Triola,  2009) Señala que:

“Distribución hipergeométrica. Si realizamos un muestreo sin reemplazo de una población finita pequeña, no debe usarse la distribución binomial porque los eventos no son independientes. Si el muestreo se hace sin reemplazo y los resultados pertenecen a uno de dos tipos, podemos usar la distribución hipergeométrica.

Si una población tiene A objetos de un tipo, mientras que los objetos B restantes son de otro tipo, y si se muestrean sin reemplazo n objetos, entonces la probabilidad de obtener x objetos del tipo A y n - x objetos del tipo B es

” (Pág. 224).

4.       De acuerdo a (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeometrica  X, el número de exitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N artículos, en los que k se denomina éxito y N – k fracaso, es

(pág. 154).

Ejemplos de uso y aplicaciones

1.    Segun a (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver.,  2010).

“Un recipiente tiene 12 botellas de vinos, 3 de las cuales contienen vino que se ha echado a perder. Una muestra de 4 botellas se selecciona al azar de entre la caja.

1. Encuentre la distribución de probabilidad para x, el número de botellas de vino echado a perder de la muestra.

2. ¿Cuáles son la media y la varianza de x?

Solución  Para este ejemplo, N = 12, n = 4, V = 3 y (N - M) = B = 9. Entonces.

” (Pág. 206)

2.    De acuerdo a (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012)

pág. 154,

  

Lista de referencias

v  (Montgomery, D; Runger, G., 2002) “Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería”. 2ª. Edición. México: Limusa.

v  (William Mendenhall, Robert J. Beaver y Barbara M. Beaver.,  2010). “Introducción a la probabilidad y estadística “Décima tercera edición.  Cengage Learning.

v  Mario F. Triola,  2009. “Estadística matemática con aplicaciones”. Décima edición México: Pearson Addison Wesley

v  (RONALD E. WALPOLE, RAYMOND H. MYERS, SHARON L. MYERS Y KEYING YE, 2012).”Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias” (9 ed.) México: PEARSON EDUCACIÓN.

4.4 Distribución de Poisson

1. Según (Jay devoré, 2008 ).

“Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ (λ>0)  si la función masa de probabilidad de X es

El valor de λ  es con frecuencia un valor por unidad de tiempo o por unidad de área.

La letra e en p(x;  λ) representa la base del sistema de logaritmos naturales; su valor numérico es aproximadamente 2.71828. Como λ debe ser positiva, p(x; λ) > 0 con todos los valores posibles x” (Pág. 121, 122).

2. De acuerdo a (MURRAY R. S.,  1976).

“Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0, 1, 2, . . . tal que la función de probabilidad de X esté dada por

f(x) = P(X=x) =

 

donde λ es una constante positiva dada. Esta distribución se llama la distribución de Poisson (en memoria de S.D. Poisson, quien la descubrió a comienzos del Siglo XIX) y una variable aleatoria con esta distribución se dice que está distribuida de acuerdo con la distribución de Poisson.

Los valores de f(x) en (13) pueden obtenerse empleando el Apéndice H, que da los valores de

e^{- λ} para diferentes valores de λ, o utilizando logaritmos” (Pág. 112).

3.   (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer., 2010) Señalan que:

“Se dice que una variable aleatoria Y tiene distribución de probabilidad de Poisson si y solo si

”  (Pág. 132).

Ejemplos de uso y aplicaciones

1. Según (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer., 2010).

“Demuestre que las probabilidades asignadas por la distribucion de probabilidad de Poisson satisfacen los requisitos de que 0 ≤ p(y) ≤ 1 para toda y y y p(y) = 1.

Solución Como  λ > 0, es obvio que p(y) > 0 para y = 0, 1, 2,. . . , y que p(y) = 0 de otro modo.

Ademas,

porque la suma infinita

 es una expansion de serie de e ^λ.” (Pág. 132).

2. De acuerdo a(Jay devoré, 2008 )

“Sea X el número de criaturas de un tipo particular capturadas en una trampa durante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución de Poisson con λ= 4.5, así que en promedio las trampas contendrán 4.5 criaturas [El artículo “Dispersal Dynamics of the Bivalve Gemma Gemma in a Patchy Environment (Ecological Monographs, 1995: 1–20) sugiere este modelo: el molusco bivalvo Gemma gemma es una pequeña almeja.] La probabilidad de que una trampa contenga exactamente cinco criaturas es

La probabilidad de que una trampa contenga cuando mucho cinco criaturas es

 ” (Página. 121, 122).

Lista de referencia

·         (Jay devoré, 2008 ). “Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias”. (7° ed.).cengage learning editores s. a de C.V.

·         (MURRAY R. S.,  1976).” Probabilidad y estadística”. México: GRAW-HILL

·         (Wackerly, Dennis D./, William Mendenhall III/ Richard L. Scheaffer., 2010). “Estadística matemática con aplicaciones”. (7 Ed.), Cengage Learning Editores, S.A. de C.V